Question

設函數f（x）=x-（x+1）ln（x+1）（x＞-1）．
（Ⅰ）求f（x）的單調區間；
（Ⅱ）證明：當n＞m＞0時，（1+n）^m＜（1+m）ⁿ；
（Ⅲ）證明：當n＞2012，且x₁，x₂，x₃，…，x_n∈R₊，x₁+x₂+x₃+…+x_n=1時，
（1）

x 2 1

1+x1

+

x 2 2

1+x2

+

x 2 3

1+x3

+…+

x 2 n

1+xn

≥

1

1+n

（2）(

x 2 1

1+x1

+

x 2 2

1+x2

+

x 2 3

1+x3

+…+

x 2 n

1+xn

)

1

n

＞(

1

2013

)

1

2012

．

Answer 1

分析：（Ⅰ）求導數，再利用導數大于0或小于0，求函數的單調區間；
（Ⅱ）設g（x）=

ln(1+x)

x

，求導數g'（x）=

x-(1+x)ln(1+x)

x2(1+x)

，由（Ⅰ）知，x-（1+x）ln（1+x）在（0，+∞）單調遞減，從而可得

ln(1+n)

n

＜

ln(1+m)

m

，由此可得結論；
（Ⅲ）（1）由x₁+x₂+x₃+…+x_n=1，及柯西不等式可得

x 2 1

1+x1

+

x 2 2

1+x2

+

x 2 3

1+x3

+…+

x 2 n

1+xn

≥

1

1+n

；（2）由（1）得：(

x 2 1

1+x1

+

x 2 2

1+x2

+

x 2 3

1+x3

+…+

x 2 n

1+xn

)

1

n

＞(

1

2013

)

1

2012

≥(

1

1+n

)

1

n

．又n＞2012，由（Ⅱ）可知（1+n）²⁰¹²＜（1+2012）ⁿ，從而有（

1

1+n

） 

1

n

＞（

1

2013

） 

1

2012

，結合放縮法即可證得結論．

解答：解：（Ⅰ）由f（x）=x-（x+1）ln（x+1），有f'（x）=-ln（x+1），…（2分）
當-1＜x＜0時，f'（x）＞0時，f（x）單調遞增；
當x＞0時，f'（x）＜0時，f（x）單調遞減；
所以f（x）的單調遞增區間為（-1，0），單調遞減區間為[0，+∞）．…（4分）
（Ⅱ）設g（x）=

ln(1+x)

x

，
則g'（x）=

x-(1+x)ln(1+x)

x2(1+x)

．…（6分）
由（Ⅰ）知，x-（1+x）ln（1+x）在（0，+∞）單調遞減，
∴x-（1+x）ln（1+x）＜0，即g（x）是減函數，
而n＞m＞0，所以g（n）＜g（m），得

ln(1+n)

n

＜

ln(1+m)

m

，
得mln（1+n）＜nln（1+m），故（1+n）^m＜（1+m）ⁿ．…（8分）
（Ⅲ）（1）由x₁+x₂+x₃+…+x_n=1，及柯西不等式可知，(

x 2 1

1+x1

+

x 2 2

1+x2

+

x 2 3

1+x3

+…+

x 2 n

1+xn

)(1+n)=(

x 2 1

1+x1

+

x 2 2

1+x2

+

x 2 3

1+x3

+…+

x 2 n

1+xn

)[(1+x1)+(1+x2)+(1+x3)+[（1+x₁）+…+（1+x_n）]×

1

1+n

≥(

x 2 1 1+x1

•

1+x1

+

x 2 2 1+x2

•

1+x2

+…+

x 2 n 1+xn

•

1+xn

)×

1

1+n

=（x₁+x₂+x₃+…+x_n）²=

1

1+n

，
所以

x 2 1

1+x1

+

x 2 2

1+x2

+

x 2 3

1+x3

+…+

x 2 n

1+xn

≥

1

1+n

，…（11分）
（2）由（1）得：(

x 2 1

1+x1

+

x 2 2

1+x2

+

x 2 3

1+x3

+…+

x 2 n

1+xn

)

1

n

＞(

1

2013

)

1

2012

≥(

1

1+n

)

1

n

．
又n＞2012，由（Ⅱ）可知（1+n）²⁰¹²＜（1+2012）ⁿ，
即（1+n） 

1

n

＜（1+2012） 

1

2012

，即（

1

1+n

） 

1

n

＞（

1

2013

） 

1

2012

．
則(

x 2 1

1+x1

+

x 2 2

1+x2

+

x 2 3

1+x3

+…+

x 2 n

1+xn

)

1

n

＞(

1

2013

)

1

2012

≥（

1

1+n

） 

1

n

＞（

1

2013

） 

1

2012

．
故(

x 2 1

1+x1

+

x 2 2

1+x2

+

x 2 3

1+x3

+…+

x 2 n

1+xn

)

1

n

＞(

1

2013

)

1

2012

＞（

1

2013

） 

1

2012

．…（14分）

點評：本題考查了函數的單調性，考查不等式的證明，考查化歸思想，考查構造函數，是一個綜合題，題目難度中等，在證明不等式時，注意采用什么形式，選擇一種合適的寫法．