Question

數列{a_n}中，a₁=8，a₄=2且滿足a_n+2=2a_n+1-a_n，n∈N^*
（1）求數列{a_n}的通項公式；
（2）設S_n=|a₁|+|a₂|+…+|a_n|，求S_n；
（3）設bn=

1

n(12-an)

(n∈N*)，Tn=b1+b2+…+bn(n∈N*)，是否存在最大的整數m，使得對任意n∈N^*，均有Tn＞

m

32

成立？若存在，求出m的值：若不存在，請說明理由．

Answer 1

分析：（1）由條件a_n+2=2a_n+1-a_n，可得an+2-a

•

n

+1=an+1-an，從而{a_n}為等差數列，利用a₁=8，a₄=2可求公差，從而可求數列{a_n}的通項公式；
（2）利用10-2n≥0則n≤5，確定數列中的正數項，再進行分類討論；
（3先裂項求和，再根據Tn＞

m

32

對任意n∈N*成立，得

n

n+1

＞

m

16

對任意n∈N*成立，利用

n

n+1

(n∈N*)的最小值是

1

2

，可知

m

16

＜

1

2

，從而存在最大整數m=7．

解答：解：（1）由題意，an+2-a

•

n

+1=an+1-an，∴{a_n}為等差數列，設公差為d，
由題意得2=8+3d⇒d=-2，∴a_n=8-2（n-1）=10-2n
（2）若10-2n≥0則n≤5，n≤5時，S_n=|a₁|+|a₂|+…+|a_n|=a1+a2+…+an=

8+10-2n

2

×n=9n-n2
n≥6時，S_n=a₁+a₂+…+a₅-a₆-a₇…-a_n=S₅-（S_n-S₅）=2S₅-S_n=n²-9n+40
故Sn=

9n-n2 n≤5 n2-9n+40 n≥6

（3）∵bn=

1

n(12-an)

=

1

2n(n+1)

=

1

2

(

1

n

-

1

n+1

)∴Tn=

1

2

[(1-

1

2

)+(

1

2

-

1

3

)+(

1

3

-

1

4

)+…+(

1

n-1

-

1

n

)+(

1

n

-

1

n+1

)]=

n

2(n+1)

若Tn＞

m

32

對任意n∈N*成立，即

n

n+1

＞

m

16

對任意n∈N*成立，∵

n

n+1

(n∈N*)的最小值是

1

2

，∴

m

16

＜

1

2

，∴m的最大整數值是7．
即存在最大整數m=7，使對任意n∈N*，均有Tn＞

m

32

點評：本題主要考查等差數列軛通項公式，考查數列的求和及恒成立問題，有一定的綜合性．