Question

【題目】在四棱錐中，與相交于點，點在線段上，．

（1）求證：平面；

（2）若，求點到平面的距離．

Answer 1

【答案】（1）詳見解析；（2）．

【解析】

（1）根據平行線等分線段可得，再根據線面平行的判定定理即可證明；

（2）由題意可得為等邊三角形，則由勾股定理可得且，則，

（方法一）從而平面平面，作于，可證得即為到平面的距離，由此可求出答案．

（方法二）設點到平面的距離為，由三棱錐的體積公式可得，即，代入數據即可求出答案．

（1）證：，

，，

又，

，

，

又平面，平面，

平面；

（2）解：（方法一）∵，

∴為等邊三角形，

∴，

又∵，，

∴，且，

∴且，

又∵，

∴

∵平面，

∴平面平面，

作于，

∵平面平面，

∴平面，

又∵平面，

∴即為到平面的距離，

在中，設邊上的高為，則，

∵，

∴，即到平面的距離為．

（方法二）∵，

∴為等邊三角形，

∴，

又∵，，

∴，且，

∴且，

又∵，

∴平面 ．

設點到平面的距離為，由得，

∴，即．

∵，，，

∴，

∴，即到平面的距離為．