Question

已知圓C：x²+y²=16，點P（3，

7

）．
（1）求以點P（3，

7

）為切點的圓C的切線所在的直線方程；
（2）求過點P（2，3）且被圓C：x²+y²=16截得弦長為2

7

的直線的方程．

Answer 1

分析：（1）根據切線的性質，以點P為切點的切線與過切點的半徑垂直，由此利用直線的斜率公式求出切線的斜率，根據直線方程的點斜式方程列式，化簡即可得出所求切線的方程；
（2）設過點P（2，3）的直線為y-3=m（x-2），根據垂徑定理結合題中數據算出圓心到直線的距離等于3，利用點到直線的距離公式列出關于m的方程，解出m的值，即可求出所求直線的方程．

解答：解：（1）設以點P（3，

7

）為切點的切線斜率為k，
∵切點所在的半徑OP的斜率為kOP=

7 -0

3-0

=

7

3

，
∴切線的斜率k=

-1

kOP

=-

3 7

7

，
可得切線的方程為y-

7

=-

3 7

7

（x-3），化簡得3x+

7

y-16=0；
（2）設過點P（2，3）的直線為y-3=m（x-2），即mx-y-2m+3=0
∵圓C：x²+y²=16的圓心為原點，半徑r=4
∴設弦長為2

7

的直線到圓心的距離為d，可得d=

r2-7

=3
根據點到直線的距離公式，得

|-2m+3|

m2+1

=3，解之得m=0或m=-

12

5

∴所求直線方程為y=3或y-3=-

12

5

（x-2），化簡得y=3或12x+5y-39=0．

點評：本題著重考查了直線的方程、圓的方程、直線與圓的位置關系和點到直線的距離公式等知識，屬于中檔題．