Question

【題目】已知函數，.

(1)討論函數的單調性；

(2)若函數在上的最大值為1，求實數的取值集合.

Answer 1

【答案】（1）見解析；（2）.

【解析】試題分析：（1）對函數求導得，對分類討論，結合導數的性質，即可得到函數的單調性；（2）函數在上的最大值為1等價于對任意，恒成立，即對任意恒成立，變形可得，分別對，及討論，即可求得實數的取值集合.

試題解析：（1）.

當時，在上單調遞減；

當時，，即在上單調遞減；

當時，.

∴時，，在上遞減；

時，，在上遞增；

時，，在上遞減；

綜上，當時，在上單調遞減；

當時，在上遞減；

在上遞增；上遞減.

（2）∵函數在上的最大值為1

∴對任意，恒成立，即對任意恒成立，變形可得.

當時，即，可得；

當時，.則

令，則.

當時，，當時，.

因此，，

∴.

當時，.則

令，則.

當時，，

因此，，

∴.

綜上，.

∴的取值集合為.