Question

如圖，已知橢圓，左、右焦點分別為F₁，F₂，右頂點為A，上頂點為B，P為橢圓上在第一象限內一點．
（1）若，求橢圓的離心率；
（2）若=，求直線PF₁的斜率k；
（3）若成等差數列，橢圓的離心率e，求直線PF₁的斜率k的取值范圍．

Answer 1

解：（1）∵∴F₁F₂=F₂A
∴a-c=2c
∴e=
（2）設直線PF₁的方程為y=k（x+c），
∵
∴PF₁•=PF₁•
∴b-kc=2kc
∴b=3kc
∵a=3c，a²-b²=c²
∴b=2c
∴k=
（3）設=t，則=
∵P在第一象限∴k＞
=
∴=t
∴2t=+t
∴4kc=ak-ck+b-kc
∴k（6c-a）=b
∴k=
∴＜
∴＜e＜1
又由已知e，
∴e，
∴k²==
== （令m=6e-1，∴e=）
==×
=×（--1）
∵e，
∴≤m＜5
∴＜≤2∴0＜k²≤
∴0＜k≤
分析：（1）若，則F₂為F₁A的中點，從而得a、c間的等式，求得離心率；
（2）設直線PF₁的方程為y=k（x+c），若=，則點B、F₂到直線PF₁的距離相等，利用點到直線的距離公式即可得k、b、c間的關系，再由（1）即可求得斜率k的值
（3）利用點到直線的距離公式，若成等差數列，則k=，兩邊平方后，利用已知離心率范圍，即可求得k的范圍
點評：本題主要考查了橢圓的標準方程、橢圓的幾何性質，橢圓的離心率的定義及其求法，直線與橢圓的位置關系，點到直線的距離公式的應用，有一定的運算量