Question

已知定點A(-2，

3

)，F(xiàn)是橢圓

x2

16

+

y2

12

=1的右焦點，M是橢圓上一點，滿足|AM|+2|MF|的值最小，則點M的坐標(biāo)和|AM|+2|MF|的最小值分別為（　　）

• A．(2

  3

  ，

  3

  )，6
• B．(2，

  3

  )，10
• C．(2

  3

  ，

  3

  )，10
• D．(2，

  3

  )，6

Answer 1

分析：利用圓錐曲線的統(tǒng)一定義

|MF|

|MN|

=e=

1

2

，結(jié)合題意化簡得|AM|+2|MF|=|AM|+|MN|，根據(jù)平面幾何性質(zhì)得當(dāng)A、M、N共線于垂直于右準(zhǔn)線的一條直線上時，|AM|+2|MF|取得最小值，由此即可算出答案．

解答：解：∵橢圓

x2

16

+

y2

12

=1中，a=4，b=2

3

∴c=

a2-b2

=2，離心率e=

c

a

=

1

2

，
記點M（m，n）到右準(zhǔn)線的距離為|MN|，
則根據(jù)圓錐曲線的統(tǒng)一定義，得

|MF|

|MN|

=e=

1

2

，
可得|MN|=2|MF|，從而得到|AM|+2|MF|=|AM|+|MN|，
由此可得：當(dāng)A，M，N同時在垂直于右準(zhǔn)線的一條直線上時，
|AM|+2|MF|取得最小值，此時M的縱坐標(biāo)與A點相等，
即n=

3

，代入到橢圓方程，解得m=±2，
而點M在第一象限，可得M（2

3

，

3

），
由橢圓的準(zhǔn)線方程為x=

a2

c

=8，可得|AM|+2|MF|的最小值為8-（-2）=10
故選：C

點評：本題給出定點A和焦點為F的橢圓上的動點M，求|AM|+2|MF|的最小值．著重考查了橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程與簡單幾何性質(zhì)、圓錐曲線的統(tǒng)一定義等知識，屬于中檔題．