Question

某城市有甲、乙、丙、丁4個旅游景點(diǎn)，一位客人游覽這4個景點(diǎn)的概率都是0.6，且客人是否游覽哪個景點(diǎn)互不影響．設(shè)ξ表示客人離開該城市時游覽的景點(diǎn)數(shù)與沒有游覽的景點(diǎn)數(shù)之差的絕對值．
（Ⅰ）求ξ的分布列及數(shù)學(xué)期望；
（Ⅱ） 記“函數(shù)f（x）=x²-3ξx+1在區(qū)間[4，+∞）上單調(diào)遞增”為事件A，求事件A的概率．

Answer 1

分析：（1）分別設(shè)“客人游覽甲景點(diǎn)”、“客人游覽乙景點(diǎn)”、“客人游覽丙景點(diǎn)”、“客人游覽丁景點(diǎn)”為事件A₁，A₂，A₃，A₄，由已知A₁，A₂，A₃，A₄相互獨(dú)立，且P（A₁）=P（A₂）=P（A₃）=P（A₄）=0.6．客人游覽的景點(diǎn)數(shù)的可能取值為0，1，2，3，4；相應(yīng)的，客人沒有游覽的景點(diǎn)數(shù)的可能取值為4，3，2，1，0．所以ξ的可能取值為0，2，4．由此能求出ξ的分布列和期望．
（2）因為f(x)=(x-

3

2

ξ)2+1-

9

4

ξ2，所以函數(shù)f（x）=x²-3ξx+1在區(qū)間[

3

2

ξ，+∞)上單調(diào)遞增．要使f（x）在[4，+∞）上單調(diào)遞增，當(dāng)且僅當(dāng)ξ≤

8

3

．由此能求出事件A的概率．

解答：解：（1）分別設(shè)“客人游覽甲景點(diǎn)”、“客人游覽乙景點(diǎn)”、“客人游覽丙景點(diǎn)”、
“客人游覽丁景點(diǎn)”為事件A₁，A₂，A₃，A₄，
由已知A₁，A₂，A₃，A₄相互獨(dú)立，
且P（A₁）=P（A₂）=P（A₃）=P（A₄）=0.6．
客人游覽的景點(diǎn)數(shù)的可能取值為0，1，2，3，4；
相應(yīng)的，客人沒有游覽的景點(diǎn)數(shù)的可能取值為4，3，2，1，0．
所以ξ的可能取值為0，2，4．

P(ξ=0)=C42(0.6)2(1-0.6)2=0.3456 .

，

P(ξ=2)=C41(0.6)1(1-0.6)3+C43(0.6)3(1-0.6)1=0.4992 .

，

P(ξ=4)=(0.6)4+(1-0.6)4=0.1552 .

所以ξ的分布列為

ξ	0	2	4
P	0.3456	0.4992	0.1552

E=0×0.3452+2×0.4992+4×0.1552=1.6192．…（5分）
（2）因為f(x)=(x-

3

2

ξ)2+1-

9

4

ξ2，
所以函數(shù)f（x）=x²-3ξx+1在區(qū)間[

3

2

ξ，+∞)上單調(diào)遞增．
要使f（x）在[4，+∞）上單調(diào)遞增，
當(dāng)且僅當(dāng)

3

2

ξ≤4，
即ξ≤

8

3

．
從而P(A)=P(ξ≤

8

3

)=P(ξ=0)+P(ξ=2)=0.8448．…（10分）

點(diǎn)評：本題考查離散型隨機(jī)變量的數(shù)學(xué)期望和方差，綜合性強(qiáng)，難度大，易出錯．解題時要認(rèn)真審題，仔細(xì)解答．注意理解古典概型的特征：試驗結(jié)果的有限性和每一個試驗結(jié)果出現(xiàn)的等可能性，體現(xiàn)了化歸的重要思想．