Question

已知圓C：x²+（y-2）²=5，直線l：mx-y+1=0．（1）求證：對m∈R，直線l與圓C總有兩個不同交點；（2）若圓C與直線相交于點A和點B，求弦AB的中點M的軌跡方程．

Answer 1

分析：（1）利用直線l：mx-y+1=0經過定點D（0，1），而定點（0，1）在圓的內部，從而證明結論成立．
（2）設中點M的坐標為（x，y），由AB⊥OM  可得 m=

x

2-y

，直角三角形DCM 中，利用勾股定理求得點M的軌跡方程．

解答：解：（1）證明：∵直線l：mx-y+1=0經過定點D（0，1），
點D到圓心（0，2）的距離等于1 小于圓的半徑

5

，
故定點（0，1）在圓的內部，故直線l與圓C總有兩個不同交點．
（2）設中點M的坐標為（x，y），則由直線和圓相交的性質可得AB⊥CM，
∴k_CM=-

1

KAB

=

-1

m

，

y-2

x-0

=

-1

m

，∴m=

x

2-y

．
由于定點D（0，1）、圓心C、點M 構成直角三角形，由勾股定理得
CM²+DM²=CD²，∴x²+（y-2）²+x²+（y-1）²=（2-1）²，
2x²+2y²-6y+4=0，即   x²+(y-

3

2

)2=

1

4

．此圓在圓C：x²+（y-2）²=5 的內部，
故點M的軌跡方程為   x²+(y-

3

2

)2=

1

4

．

點評：本題考查直線過定點問題，點和圓、直線和圓的位置關系，兩直線垂直的性質以及勾股定理的應用．