Question

如圖，直角梯形ABCD中，AD⊥AB，AB∥DC，AB=4，AD=DC=2，設點N是DC邊的中點，點M是梯形ABCD內或邊界上的一個動點，則

AM

•

AN

的最大值是（　　）

A．4

B．6

C．8

D．10

Answer 1

分析：以直線AB為x軸、AD為y軸，建立如圖所示直角坐標系，然后求出A、B、C、D、N各點的坐標．設M（x，y），根據數量積的坐標運算公式可得

AM

•

AN

=x+2y，設z=x+2y對應直線l，將直線l進行平移，可得當它經過點C（2，2）時目標函數z達到最大值，由此即可得到

AM

•

AN

的最大值．

解答：解：以直線AB為x軸，AD為y軸建立如圖所示直角坐標系，
可得A（0，0），B（4，0），C（2，2），D（0，2），N（1，2）
設M（x，y），可得

AM

=（x，y），

AN

=（1，2），
∴

AM

•

AN

=x+2y，設z=x+2y對應直線l，
將直線l平移，得當它經過點C（2，2）時，目標函數z達到最大值
∴z=x+2y的最大值為2+2×2=6，即

AM

•

AN

的最大值是6
故答案為：6

點評：本題給出直角梯形中的向量，求它們數量積的最大值．著重考查了向量數量積的定義和運用直線平移法求“二元一次型”目標函數的最值等知識，同時考查了學生對向量數量積幾何意義靈活應用能力，屬于中檔題．