Question

【題目】如圖，四邊形是邊長為的正方形， 平面， ，且， ．

（I）求證： 平面．

（II）求與平面所成角的正弦值．

（III）為直線上一點，且平面平面，求的值．

Answer 1

【答案】（I）見解析；（II）.

【解析】試題分析：（Ⅰ）通過證明平面與平面平行的判定定理證明平面AMD∥平面BCN，然后證明AM∥平面BCN；
（Ⅱ）以D為原點，DA，DC，DM所在直線分別為x，y，z軸，建立空間直角坐標系，求出平面MNC的法向量以及直線AN向量，然后求AN與平面MNC所成角的正弦值；
（Ⅲ）設E（x，y，z），，得到點的坐標為，通過平面平面，只要， 即可.

試題解析：

（I）證明：∵是正方形，

∴，

∵平面， 平面，

∴平面，

∵，

∵平面， 平面，

∴平面，

∵， 平面， 平面，

∴平面平面，

∵平面，

∴平面．

（也可建立直角坐標系，證明垂直平面的法向量，酌情給分）

（II）∵平面， 是正方形，

所以，可選點為原點， ， ， 所在直線分別為， ， 軸，建立空間直角坐標系（如圖），

則， ， ， ，

∴， ， ，

設平面的法向量，

則，令，則，

設與平面所成角為，

∴．

（III）設， ，

∴，

又∵， ，

∴點的坐標為．

∵面，

∴，欲使平面平面，只要，

∵， ，

∵，

∴．

∴，

所以．