Question

如圖，已知四棱錐，底面是等腰梯形，
且∥，是中點，平面，
， 是中點．

（1）證明：平面平面；
（2）求平面與平面所成銳二面角的余弦值.

Answer 1

（1）詳見解析；（2）

解析試題分析：（1）根據中位線可得∥，從而可證得∥平面。證四邊形為平行四邊形可得∥平面，從而可證得平面平面。（2）法一：延長、交于點，連結，則平面，易證△與△全等。過作的垂線，則與垂足的連線也垂直。由二面角的平面角的定義可得所求二面角。再用余弦定理即可求其余弦值。法二空間向量法。由題意可以為坐標原點建立空間直角坐標系。根據各點的坐標求出個向量的坐標，在根據數量積公式求各面的法向量，在用數量積公式求其兩法向量夾角的余弦值。注意兩法向量所成的角可能與二面角相等也可能為其補角。
試題解析：(1) 證明： 且∥，2分
則平行且等于，即四邊形為平行四邊形，所以.
6分
(2) 『解法1』：
延長、交于點，連結，則平面，易證△與△全等，過作于，連，則，由二面角定義可知，平面角為所求角或其補角.
易求，又，，由面積橋求得，所以
所以所求角為，所以
因此平面與平面所成銳二面角的余弦值為
『解法2』：
以為原點，方向為軸，以平面內過點且垂直于方向為軸 以方向為