Question

在直角坐標系xOy中，以坐標原點O為圓心的圓與直線：相切．
（1）求圓O的方程；
（2）若圓O上有兩點M、N關于直線x+2y=0對稱，且，求直線MN的方程；
（3）圓O與x軸相交于A、B兩點，圓內的動點P使|PA|、|PO|、|PB|成等比數列，求的取值范圍．

Answer 1

【答案】分析：（1）利用點到直線的距離公式求出半徑r，從而求得圓O的方程．
（2）用點斜式設出MN的方程為y=2x+b，由條件求出圓心O到直線MN的距離等于=1，由1=，
求出b的值，即可得到MN的方程．
（3）由題意可得|PA|•|PB|=|PO|² ，設點P（x，y），代入化簡可得x²=y²+2．由點P在圓內可得 x²+y²＜4，可得0≤y²＜1．化簡 =2（y²-1），從而求得的取值范圍．
解答：解：（1）半徑r==2，故圓O的方程為 x²+y²=4．
（2）∵圓O上有兩點M、N關于直線x+2y=0對稱，故MN的斜率等于直線x+2y=0斜率的負倒數，等于2，
設MN的方程為y=2x+b，即2x-y+b=0．
由弦長公式可得，圓心O到直線MN的距離等于=1．
由點到直線的距離公式可得 1=，b=±，故MN的方程為2x-y±=0．
（3）圓O與x軸相交于A（-2，0）、B（2，0）兩點，圓內的動點P使|PA|、|PO|、|PB|成等比數列，
∴|PA|•|PB|=|PO|² ，設點P（x，y），
 則有 •=x²+y²，化簡可得 x²=y²+2．
由點P在圓內可得 x²+y²＜4，故有 0≤y²＜1．
∵=（-2-x，-y）•（2-x，-y）=x²+y²-4=2（y²-1）∈[-2，0）．
即的取值范圍是[-2，0）．
點評：本題主要考查等比數列的定義和性質，直線和圓的位置關系，兩個向量的數量積的定義，屬于中檔題．