Question

已知函數f(x)=

2x+a

2x+b

為奇函數．
（1）求a和b的值；
（2）當f（x）定義域不是R時，判斷函數f（x）在（0，+∞）內的單調性，并給出證明；
（3）當f（x）定義域為R時，求函數f（x）的值域．

Answer 1

分析：（1）由奇函數的性質可得f（x）+f（-x）=0，結合函數的解析式構造方程組，可求出a和b的值；
（2）當f（x）定義域不是R時，可得b＜0，結合（1）中結論可得函數的解析式，進而利用做差法，任取x₁，x₂∈（0，+∞），且x₁＜x₂，判斷f（x₁）與f（x₂）大小，可得結論；
（3）當f（x）定義域是R時，可得b≥0，結合（1）中結論可得函數的解析式，進而利用分類常數法，結合指數函數的性質可得函數f（x）的值域．

解答：（1）解：由f（x）為奇函數得，f（x）+f（-x）=0，
即 

2x+a

2x+b

+

2-x+a

2-x+b

=0，化簡得（a+b）（2^2x+2^-x）+2（ab+1）=0
∴

a+b=0 ab+1=0

，解得：

a=1 b=-1

或  

a=-1 b=1

        （4分）
（2）由已知得

a=1 b=-1

，f（x）=

2x+1

2x-1

這時，f（x）在（0，+∞）內是減函數．
證明：設x₁，x₂∈（0，+∞），且x₁＜x₂
f（x₁）-f（x₂）=

2x1+1

2x1-1

-

2x2+1

2x2-1

=

2(2x2-2x1)

(2x1-1)(2x2-1)

，
∵x₁＞0，x₂＞0，x₁＜x₂
∴2x1-1＞0，2x2-1＞0，2x2-2x1＞0
∴f（x₁）-f（x₂）＞0，即f（x₁）＞f（x₂）
因此，f（x）在（0，+∞）內是減函數． （4分）
（3）解：由已知得：f（x）=

2x-1

2x+1

=1-

2

2x+1

，
∵2^x＞0，
∴2^x+1＞1，
∴0＜

2

2x+1

＜2，
∴-2＜-

2

2x+1

＜0，
∴-1＜f（x）＜1
因此，f（x）的值域為（-1，1）（12分）

點評：本題考查的知識點是函數的奇偶性，函數的單調性，函數的值域，其中根據奇函數的定義，構造方程求出a和b的值是解答本題的關鍵．