Question

如圖，在五面體，ABCDF中，點O是矩形ABCD的對角線的交點，面ABF是等邊三角形，棱EF＝．
（1）證明EO∥平面ABF；
（2）問為何值時，有OF⊥ABE，試證明你的結論．

Answer 1

（Ⅰ）證明見解析（Ⅱ）

（1）證明：取AB中點M，連結OM．                 2分
在矩形ABCD中，OM＝，
又EF＝，則EF＝OM，
連結FM，于是四邊形EFMO為平行四邊形．∴OE∥FM．                                  4分
又∵EO平面ABF，FM平面ABF，∴EO∥平面ABF．                                    6分
（2）解：∵OF⊥平面ABE，連結EM．
∵EM平面ABE．∴OF⊥EM，又四邊形OEFM為平行四邊形．
∴□OEFM為菱形．                                                                                                               8分
∴OM＝MF，設OM＝a，則BC＝2a．
在正△ABF中，MF＝a，∴a＝，∴．                                10分
∴CD＝，∴
綜上可知，當時，有OF⊥平面ABE．                                                    12分