Question

【題目】已知橢圓，，分別是的上頂點和下頂點.

（1）若，是上位于軸兩側(cè)的兩點，求證：四邊形不可能是矩形；

（2）若是的左頂點，是上一點，線段交軸于點，線段交軸于點，，求.

Answer 1

【答案】（1）見解析（2）

【解析】

（1），計算，的斜率的乘積，根據(jù)斜率公式即可證明.
（2）設(shè)，分別求出直線的方程，求出點的坐標(biāo)，再根據(jù)，結(jié)合點在橢圓上即可求出．

解法一：（1）依題意，，.

設(shè)，則，且，

設(shè)直線，的斜率分別為，，

則，

所以與不垂直，所以四邊形不可能是矩形.

（2）設(shè)，則，，且，

所以直線，令，得，

所以，

直線，所以，

又因為，所以，所以.

由得，，

解得或（舍去），

所以，，，故.

解法二：（1）假設(shè)四邊形為矩形，

因為，關(guān)于原點對稱，所以直線原點且，

設(shè)直線，，，

由得，解得，

所以，

所以，顯然不成立，

所以假設(shè)不成立，所以四邊形不可能是矩形.

（2）同解法一.