Question

已知圓C在x軸上的截距為-1和3，在y軸上的一個截距為1．
（1）求圓C的標準方程；
（2）若過點(2 ，

3

-1)的直線l被圓C截得的弦AB的長為4，求直線l的傾斜角；
（3）求過原點且被圓C截得的弦長最短時的直線l′的方程．

Answer 1

分析：（1）設圓C與x軸的交點為A和B，與y軸的交點為C，由圓C與x軸及y軸的截距，得出圓上三點的坐標A，B及C的坐標，進而確定出線段AB及線段AD的中垂線方程，聯立兩中垂線方程組成方程組，求出方程組的解得到圓心C的坐標，再由C和D的坐標，利用兩點間的距離公式求出半徑r，寫出圓C的標準方程即可；
（2）分兩種情況考慮：當直線l的斜率不存在時，直線l到圓心的距離為2，滿足題意，可得出此時直線l的傾斜角為90°；當直線l的斜率存在時，設斜率為k，由直線l過（2，

3

-1），表示出直線l的方程，再由弦長及圓的半徑，求出圓心到直線l的距離，然后利用點到直線的距離公式列出關于k的方程，求出方程的解得到k的值，利用直線傾斜角與斜率的關系求出此時直線l的傾斜角，綜上，得到所有滿足題意的直線l的傾斜角；
（3）當過原點且被圓C截得的弦長最短時，即為與直徑OC垂直的弦，由O和C的坐標求出直線OC的斜率，確定出直線OC的方程，即為第二、四象限的角平分線，可得出直線l′為第一、三象限的角平分線，確定出直線l′的方程．

解答：解：（1）設A（-1，0），B（3，0），D（0，1），
則AB中垂線為x=1，AD中垂線為y=-x，
∴圓心C（x，y）滿足

x=1 y=-x

，
∴C（1，-1），半徑r=|CD|=

(1-0)2+(-1-1)2

=

5

，
則圓C的標準方程為（x-1）²+（y+1）²=5；            
（2）當斜率不存在時，直線l：x=2到圓心的距離為1，亦滿足題意，直線l的傾斜角為90°；
當斜率存在時，設直線l的方程為y=k（x-2）+

3

-1，由弦長為4，
∴圓心（1，-1）到直線l的距離為

5-4

=1，即

|k(1-2)+1+ 3 -1|

1+k2

=1，
解得：k=

3

3

，此時直線l的傾斜角為30°，
綜上所述，直線l的傾斜角為30°或90°；          
（3）∵O（0，0），C（1，-1），
∴k_OC=

-1

1

=-1，直線OC的方程為y=-x，
∴直線l'：y=x．

點評：此題考查了直線與圓相交的性質，以及圓的標準方程，涉及的知識有：待定系數法求圓的方程，兩點間的距離公式，點到直線的距離公式，直線的點斜式方程，直線斜率與傾斜角的關系，垂徑定理，以及勾股定理，利用了轉化及分類討論的思想，是一道綜合性較強的題．