Question

【題目】已知橢圓過(guò)點(diǎn)，且的離心率為.

（1）求的方程；

（2）過(guò)的頂點(diǎn)作兩條互相垂直的直線與橢圓分別相交于兩點(diǎn).若的角平分線方程為，求的面積及直線的方程.

Answer 1

【答案】（1）;（2）.

【解析】試題分析：（1）根據(jù)橢圓離心率和橢圓上一點(diǎn)的坐標(biāo)，列方程組，解方程組可求得橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程.（2）設(shè)出過(guò)點(diǎn)的直線方程，聯(lián)立直線的方程和橢圓的方程，求得點(diǎn)的橫坐標(biāo)，由此得到，利用角平分線上的點(diǎn)到兩邊的距離相等建立方程，可求得斜率，由此求得三角形面積和直線方程.

試題解析：

（1）把點(diǎn)代入中，得，又，∴，

解得，，

∴橢圓的方程為.

（2）設(shè)過(guò)斜率為的直線為，代入橢圓方程得

，①

則，

∴ ，②

在直線上取一點(diǎn)，則到直線的距離為，

點(diǎn)到直線的距離為，

由已知條件，解得或.

代入②得，，

∴的面積 .

由①得，.

∴的方程為，即.