Question

【題目】設過拋物線 的焦點 的直線 交拋物線于點 ，若以 為直徑的圓過點 ，且與 軸交于 ， 兩點，則 （ ）
A.3
B.2
C.-3
D.-2

Answer 1

【答案】C
【解析】拋物線焦點坐標為F（1，0），準線方程為x=﹣1

設直線MN的方程為x=ty+1，A、B的坐標分別為（ ，y1），（ ，y2）

聯立直線和拋物線得到方程：y2﹣4my﹣4=0，

∴y1+y2=4m，y1y2=﹣4，

x1+x2=ty1+1+ty2+1=t（y1+y2）+2=4t2+2， =2t2+1， =2t，

則圓心D（2t2+1，2t），

由拋物線的性質可知：丨AB丨=x1+x2+p=4（t2+1），

由P到圓心的距離d= ，由題意可知：d= 丨AB丨，

解得：t=1，則圓心為（3，2），半徑為4，∴圓的方程方程為（x﹣3）2+（y﹣2）2=42，

則當y=0，求得與x軸的交點坐標，假設m＞n，則m=3﹣2 ，n=3+2 ，

∴mn=（3﹣2 ）（3+2 ）=﹣3，

所以答案是：C．

【考點精析】掌握圓的標準方程是解答本題的根本，需要知道圓的標準方程：；圓心為A(a,b),半徑為r的圓的方程．