Question

已知函數f（x）=a（lnx-x）（a∈R）．
（I）討論函數f（x）的單調性；
（II）若函數y=f（x）的圖象在點（2，f（2））處的切線的傾斜角為45°，函數g（x）=x3+x2[

m

2

+f′(x)]在區間（2，3）上總存在極值，求實數m的取值范圍．

Answer 1

分析：（I）利用導數研究函數的單調性，首先求出極值點，同時注意函數的定義域；
（II）已知函數y=f（x）的圖象在點（2，f（2））處的切線的傾斜角為45°，根據導數與直線斜率的關系可得f′（2）=1，將問題轉化為二元一次方程有解問題，從而求解；

解答：解：（I）易知f（x）的定義域為（0，+∞），f′（x）=

a(1-x)

x

，
當a＜0時，令f′（x）=

a(1-x)

x

＞0，即

1-x

x

＜0，解得增區間為（1，+∞），
減區間為（0，1）；
當a＞0時，令f′（x）=

a(1-x)

x

＞0，即

1-x

x

＞0，解得增區間為（0，1），減區間為（1，+∞），
當a=0時，f（x）不是單調函數；
（II）∵函數y=f（x）的圖象在點（2，f（2））處的切線的傾斜角為45°，
∴f′（2）=

a(1-2)

2

=tan45°=1，
∴a=-2，
f′（x）=

-2(1-x)

x

=

2(x-1)

x

，
g（x）=x³+x²（

m

2

+

2(x-1)

x

）=x³+（

m

2

+2）x²-2x，
g′（x）=3x²+（m+4）x-2，
∵g′（0）=-2＜0，要使函數g（x）=x³+x²[

m

2

+f′（x）]在區間（2，3）上總存在極值，
只需

g′(2)＜0 g′(3)＞0

，
解得-

37

3

＜m＜-9；

點評：此題利用導數研究函數單調區間，以及導數所表示的幾何意義，將問題轉化為方程有解問題，是一道中檔題；