Question

若定義在R上的函數f（x）滿足：對任意x₁，x₂∈R有f（x₁+x₂）=f（x₁）+f（x₂）+1，則下列說法一定正確的是

1. A.
   f（x）為奇函數
2. B.
   f（x）為偶函數
3. C.
   f（x）+1為奇函數
4. D.
   f（x）+1為偶函數

Answer 1

C
分析：對任意x₁，x₂∈R有f（x₁+x₂）=f（x₁）+f（x₂）+1，由此得f（0）=-1，f（x）+1=-f（-x）-1=-[f（-x）+1]，所以f（x）+1為奇函數．
解答：∵對任意x₁，x₂∈R有
f（x₁+x₂）=f（x₁）+f（x₂）+1，
∴令x₁=x₂=0，得f（0）=-1
∴令x₁=x，x₂=-x，得f（0）=f（x）+f（-x）+1，
∴f（x）+1=-f（-x）-1=-[f（-x）+1]，
∴f（x）+1為奇函數．
故選C
點評：本題考查函數的性質和應用，解題時要認真審題，仔細解答．