Question

已知數列{a_n}的前n項和為S_n（ n∈N^*），且Sn=

3

2

an-1．
（1）求數列{a_n}的通項公式a_n；
（2）設b_n=na_n，求數列{b_n}的前n項和T_n．

Answer 1

分析：（1）當n=1時，a₁=S₁．當n≥2時，a_n=S_n-S_n-1，再利用等比數列的通項公式即可得出．
（2）利用“錯位相減法”和等比數列的前n項和公式即可得出．

解答：解：（1）當n=1時，a1=S1=

3

2

a1-1，解得a₁=2．
當n≥2時，Sn=

3

2

an-1，Sn-1=

3

2

Sn-1-1，
∴a_n=S_n-S_n-1=

3

2

an-

3

2

an-1，∴a_n=3a_n-1（n≥2）．
∴數列{a_n}是首項為2，公比為3的等比數列，
∴an=2×3n-1．
（2）∵b_n=na_n，∴b_n=2n•3^n-1．
∴Tn=2(1×30+2×31+2×32+…+n•3n-1)，
3Tn=2[1×3+2×32+…+(n-1)•3n-1+n•3n]，
∴-2Tn=2（1+3¹+3²+…+3^n-1-n•3ⁿ）=2[

3n-1

3-1

-n•3n]=（1-2n）•3ⁿ-1，
∴T_n=(n-

1

2

)•3n+

1

2

．

點評：本題考查了“n=1時，a₁=S₁．當n≥2時，a_n=S_n-S_n-1”、“錯位相減法”和等比數列的通項公式、前n項和公式等基礎知識與基本技能方法，屬于中檔題．