Question

定義：如果數列{a_n}的任意連續三項均能構成一個三角形的三邊長，則稱{a_n}為“三角形”數列．對于“三角形”數列{a_n}，如果函數y=f（x）使得b_n=f（a_n）仍為一個“三角形”數列，則稱y=f（x）是數列{a_n}的“保三角形函數”，（n∈N^﹡）．
（1）已知{a_n}是首項為2，公差為1的等差數列，若f（x）=k^x，（k＞1）是數列{a_n}的“保三角形函數”，求k的取值范圍；
（2）已知數列{c_n}的首項為2010，S_n是數列{c_n}的前n項和，且滿足4S_n+1-3S_n=8040，證明{c_n}是“三角形”數列；
（3）[文科]若g（x）=lgx是（2）中數列{c_n}的“保三角形函數”，問數列{c_n}最多有多少項．
[理科]根據“保三角形函數”的定義，對函數h（x）=-x²+2x，x∈[1，A]，和數列1，1+d，1+2d，（d＞0）提出一個正確的命題，并說明理由．

Answer 1

解：（1）顯然a_n=n+1，a_n+a_n+1＞a_n+2對任意正整數都成立，
即{a_n}是三角形數列．（2分）
因為k＞1，顯然有f（a_n）＜f（a_n+1）＜f（a_n+2），
由f（a_n）+f（a_n+1）＞f（a_n+2）得kⁿ+kⁿ⁺¹＞kⁿ⁺²，解得k＜．
所以當k∈（1，）時，f（x）=k^x是數列{a_n}的“保三角形函數”．（5分）
（2）由4S_n+1-3S_n=8040得4S_n-3S_n-1=8040，兩式相減得4c_n+1-3c_n=0
所以，c_n=2010，
經檢驗，此通項公式滿足4S_n+1-3S_n=8040 （7分）
顯然c_n＞c_n+1＞c_n+2，因為c_n+1+c_n+2=2010+2010=•2010＞c_n，
所以{c_n}是“三角形”數列．（10分）
（3）[文科]因為g（c_n）是單調遞減函數，所以，由lgc_n-1+lgc_n＞lgc_n-2得
lg2010+（n-2）lg+lg2010+（n-1）lg＞lg2010+（n-3）lg（14分）
化簡得lg2010＞nlg，解得n＜26.4，
即數列{b_n}最多有26項．（18分）
（3）[理科]探究過程：函數h（x）=-x²+2x，x∈[1，A]是數列1，1+d，1+2d（d＞0）的“保三角形函數”，必須滿足三個條件：
①1，1+d，1+2d（d＞0）是三角形數列，所以1+1+d＞1+2d，即o＜d＜1．
②數列中的各項必須在定義域內，即1+2d≤A．
③h（1），h（1+d），h（1+2d）是三角形數列．
由于h（x）=-x²+2x，x∈[1，A]是單調遞減函數，所以h（1+d）+h（1+2d）＞h（1），解得0＜d＜．
分析：（1）先有條件得{a_n}是三角形數列，再利用f（x）=k^x，（k＞1）是數列{a_n}的“保三角形函數”，得到kⁿ+kⁿ⁺¹＞kⁿ⁺²，解得k的取值范圍；
（2）先利用條件求出數列{c_n}的通項公式，再證明其滿足“三角形”數列的定義即可；
（3）[文科]利用條件得到g（c_n）是單調遞減函數以及lgc_n-1+lgc_n＞lgc_n-2得，解此不等式找到對應的范圍即可得出結論．
[理科]根據函數h（x）=-x²+2x，x∈[1，A]是數列1，1+d，1+2d（d＞0）的“保三角形函數”，可以得到①1，1+d，1+2d（d＞0）是三角形數列，所以1+1+d＞1+2d，即o＜d＜1，②數列中的各項必須在定義域內，即1+2d≤A，③h（1），h（1+d），h（1+2d）是三角形數列；結論為在利用h（x）=-x²+2x，x∈[1，A]是單調遞減函數，就可求出對應d的范圍．
點評：本題是在新定義下對數列的綜合考查．關于新定義的題型，在作題過程中一定要理解定義，并會用定義來解題．