Question

【題目】已知數列{an}滿足a1=1，an+1=1﹣ ，其中n∈N* ．
（1）設bn= ，求證：數列{bn}是等差數列，并求出{an}的通項公式；
（2）設cn= ，數列{cncn+2}的前n項和為Tn ， 求證：Tn＜3．

Answer 1

【答案】
（1）證明：∵an+1=1﹣ ，bn= ，

∴bn+1﹣bn=﹣ ﹣ = ﹣ = ﹣ =2（常數），

∴數列{bn}是等差數列．

∵a1=1，

∴b1=2，bn=2+（n﹣1）×2=2n，

由bn=2n，∴ =2n，

得an=

（2）證明：由cn= = = ，

∴cncn+2= =2 ，

∴數列{cncn+2}的前n項和為Tn=2 +

=2

=3﹣ ＜3．

∴Tn＜3

【解析】（1）由an+1=1﹣ ，bn= ，只要證明：bn+1﹣bn=常數即可得出，再利用等差數列的通項公式即可得出bn ． （2）由cn= = ，可得cncn+2= =2 ，利用“裂項求和”與不等式的性質即可得出．
【考點精析】通過靈活運用等差數列的通項公式（及其變式）和數列的前n項和，掌握通項公式：或；數列{an}的前n項和sn與通項an的關系即可以解答此題．