Question

已知函數(shù)f（x）=2ax³-3ax²+1，g(x)=-

a

4

x+

3

2

．（a∈R）
（I）當(dāng)a=1時，求函數(shù)y=f（x）的單調(diào)區(qū)間；
（II）若任意給定的x₀∈[0，2]，在[0，2]上總存在兩個不同的x_i（i=1，2），使得f（x_i）=g（x₀）成立，求a的取值范圍．

Answer 1

分析：（I）由題意先把a代入使得函數(shù)f（x）具體，再利用導(dǎo)函數(shù)求其單調(diào)區(qū)間；
（II）由題意可以把問題轉(zhuǎn)化為求函數(shù)f（x）和函數(shù)g（x）的值域，并有題意轉(zhuǎn)化為兩個函數(shù)的值域的關(guān)系問題．

解答：解：（I）f'（x）=6x²-6x=6x（x-1）．
由f'（x）＞0，得x＞1或x＜0；
由f'（x）＜0，得0＜x＜1；
故函數(shù)f（x）的單調(diào)遞增區(qū)間是（-∞，0]，[1，+∞）；
單調(diào)遞減區(qū)間是[0，1]．
（II）f^′（x）=6ax²-6ax=6ax（x-1）．
①當(dāng)a=0時，顯然不可能；
②當(dāng)a＞0時，函數(shù)f（x）的變化情況如下表所示

又因為當(dāng)a＞0時，g(x)=-

a

4

x+

3

2

在[0，2]上是減函數(shù)，
對任意x∈[0，2]，g(x)∈[-

a

2

+

3

2

，

3

2

]，不合題意；
③當(dāng)a＜0時，函數(shù)f（x）的變化情況如下表所示


又因為當(dāng)a＜0時，g(x)=-

a

4

x+

3

2

在[0，2]上是增函數(shù)，
對任意x∈[0，2]，g(x)∈[

3

2

，-

a

2

+

3

2

]，
由題意可得，-

a

2

+

3

2

＜1-a
∴a＜-1
綜上，a的取值范圍為（-∞，-1）．

點評：（I）在此重點考查了利用函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)求其單調(diào)區(qū)間并且還考查了一元二次方程的求解方法；
（II）在此主要考查了等價轉(zhuǎn)化的思想，還有利用導(dǎo)函數(shù)求函數(shù)的最值并考查了含有字母時分類討論的思想，及集合之間的關(guān)系．