Question

（2013•海口二模）2013年，首都北京經歷了59年來霧霾天氣最多的一個月．經氣象局統計，北京市從1
月1日至1月30日這30天里有26天出現霧霾天氣．《環境空氣質量指數（AQI）技術規定（試行）》依據AQI指數高低將空氣污染級別分為：優，指數為0-50；良，指數為51-100；輕微污染，指數為101-150；輕度污染，指數為151-200；中度污染，指數為201-250；中度重污染，指數為251-300；重度污染，指數大于300．下面表1是該觀測點記錄的4天里，AQI指數M與當天的空氣水平可見度y（千米）的情況，表2是某氣象觀測點記錄的北京1月1日到1月30日AQI指數頻數統計結果，
表1：AQI指數M與當天的空氣水平可見度y（千米）情況

AQI指數M	900	700	300	100
空氣可見度y（千米）	0.5	3.5	6.5	9.5

表2：北京1月1日到1月30日AQI指數頻數統計

AQI指數	[0，200]	（200，400]	（400，600]	（600，800]	（800，1000]
頻數	3	6	12	6	3

（Ⅰ）設變量

?

x

=

M

100

，根據表1的數據，求出

?

y

關于

?

x

的線性回歸方程；
（Ⅱ）小王在記錄表2數據的觀測點附近開了一家小飯館，飯館生意的好壞受空氣質量
影響很大．假設每天空氣質量的情況不受前一天影響．經小王統計：AQI指數不高于200時，飯館平均每天凈利潤約700元，AQI指數在200至400時，飯館平均每天凈利潤約400元，AQI指數大于400時，飯館每天要凈虧損200元．
（ⅰ）將頻率看作概率，求小王在連續三天里飯館凈利潤約1200元的概率；
（ⅱ）計算該飯館一月份每天收入的數學期望．（用最小二乘法求線性回歸方程系數公式b=

n i=1 xiyi-n . x . y

n i=1 xi2-n . x 2

，a=

.

y

-b

.

x

）

Answer 1

分析：（Ⅰ）由

?

x

=

M

100

，可得x₁=9，x₂=7，x₃=3，x₄=1，利用公式計算線性回歸方程系數，即可得到

?

y

關于

?

x

的線性回歸方程；
（Ⅱ）（ⅰ）由表2知AQI指數不高于200的頻率為0.1，AQI指數在200至400的頻率為0.2，AQI指數大于400的頻率為0.7，若將頻率看作概率，則可求“連續三天里飯館凈利潤約1200元”的概率；
（ⅱ）由（ⅰ），確定飯館每天的收入的取值及概率，從而可求分布列及數學期望．

解答：解：（Ⅰ）由

?

x

=

M

100

，可得x₁=9，x₂=7，x₃=3，x₄=1，
∴

.

x

=5，

.

y

=5，

4

i=1

xiyi=9×0.5+7×3.5+3×6.5+1×9.5=58，

4

i=1

x

2 i

=140
∴b=

58-4×5×5

140-4×52

=-

21

20

，a=5-5×(-

21

20

)=

41

4

∴y關于x的線性回歸方程是y=-

21

20

x+

41

4

（8分）
（Ⅱ）（ⅰ）由表2知AQI指數不高于200的頻率為0.1，AQI指數在200至400的頻率為0.2，AQI指數大于400的頻率為0.7．
設“飯館某天收入約700元”為事件A，“飯館某天收入約400元”為事件B，“飯館某天虧損約200元”為事件C，若將頻率看作概率，則P（A）=0.1，P（B）=0.2，P（C）=0.7．則“連續三天里飯館凈利潤約1200元”的概率：P=P(BBB)+P(ACC)+P(CAC)+P(CCA)=0.23+

C

2 3

×0.12×0.7=0.029（（8分）
（ⅱ）由（ⅰ），設飯館每天的收入為X，則X的分布列為

X	-200	400	700
P	0.7	0.2	0.1

（10分）
則X的數學期望為E（X）=-200×0.7+400×0.2+700×0.1=10（12分）

點評：本題考查線性回歸方程，考查離散型隨機變量的分布列與數學期望，考查學生的計算能力，考查學生分析解決問題的能力，屬于中檔題．