Question

如圖，已知平行六面體ABCD-A₁B₁C₁D₁．
（I）若G為△ABC的重心，，設(shè)，用向量a、b、c表示向量；
（II）若平行六面體ABCD-A₁B₁C₁D₁各棱長(zhǎng)相等且AB⊥平面BCC₁B₁，E為CD中點(diǎn)，AC₁∩BD₁=O，求證；OE⊥平面ABC₁D₁．

Answer 1

解：（I）依題意，=
∵G為△ABC的重心，
∴=×=
又∵
∴[]
=
=-
（II）證明：連接C₁E，AE，
∵平行六面體ABCD-A₁B₁C₁D₁各棱長(zhǎng)相等且AB⊥平面BCC₁B₁
∴C₁E=AE，
∴△C₁EA為等腰三角形
∵O為AC₁的中點(diǎn)，
∴OE⊥AC₁
同理可證 OE⊥BD₁
∵AC₁∩BD₁=O，
∴OE⊥平面ABC₁D₁．
分析：（I）利用向量加法的三角形法則及重心的性質(zhì)，將用基底表示，再在三角形A₁AG中，將用基底表示；
（II）連接C₁E，AE，由已知證明△C₁EA為等腰三角形，從而OE⊥AC₁，同理可證明OE⊥BD₁，最后由線面垂直的判定定理證明結(jié)論
點(diǎn)評(píng)：本題考查了空間向量的基本定理及其應(yīng)用，向量加法的三角形法則，重心的性質(zhì)及線面垂直的判定定理