Question

【題目】已知拋物線C：x2＝2py（p＞0），F為拋物線C的焦點．以F為圓心，p為半徑作圓，與拋物線C在第一象限交點的橫坐標為2．

（1）求拋物線C的方程；

（2）直線y＝kx+1與拋物線C交于A，B兩點，過A，B分別作拋物線C的切線l1，l2，設切線l1，l2的交點為P，求證：△PAB為直角三角形．

Answer 1

【答案】（1）；（2）證明見解析.

【解析】

（1）由題意可得M點的坐標為，代入拋物線方程，即可求出p的值；

（2）設，利用導數的幾何意義得到A，B兩點處的切線斜率分別為，，聯立直線與拋物線方程，利用韋達定理得到k1k2＝﹣1，從而得到△PAB為直角三角形．

（1）記拋物線C與圓F在第一象限的交點為M，

由圓F與拋物線C的準線相切，且M到拋物線C準線的距離等于圓F的半徑，

所以M點的坐標為，代入拋物線方程得：，

所以，所以拋物線的方程為.

（2）設，

由，可得y，則，

所以A，B兩點處的切線斜率分別為，，

由，得，所以，

所以，

所以，即為直角三角形．