Question

11、判斷下列各命題正確與否：
（1）若a≠0，a•b=a•c，則b=c；
（2）若a•b=a•c，則b≠c當且僅當a=0時成立；
（3）（a•b）c=a（b•c）對任意向量a、b、c都成立；
（4）對任一向量a，有a²=|a|²．

Answer 1

分析：（1）（2）可由數量積的定義判斷．
（3）通過計算判斷．
（4）把a²轉化成a•a=|a|²可判斷．

解答：解：（1）a•b=a•c，∴|a||b|cosα=|a||c|cosβ（其中α、β分別為a與b，a與c的夾角）．∵|a|≠0，∴|b|cosα=|c|cosβ．
∵cosα與cosβ不一定相等，∴|b|與|c|不一定相等．∴b與c也不一定相等．∴（1）不正確．
（2）若a•b=a•c，則|a||b|cosα=|a||c|cosβ（α、β為a與b，a與c的夾角）．
∴|a|（|b|cosα-|c|cosβ）=0．
∴|a|=0或|b|cosα=|c|cosβ．
當b≠c時，|b|cosα與|c|cosβ可能相等．
∴（2）不正確．
（3）（a•b）c=（|a||b|cosα）c，
a（b•c）=a|b||c|cosθ（其中α、θ分別為a與b，b與c的夾角）．
（a•b）c是與c共線的向量，
a（b•c）是與a共線的向量．
∴（3）不正確．（4）正確．

點評：判斷上述問題的關鍵是要掌握向量的數量積的含義，向量的數量積的運算律不同于實數乘法的運算律．