Question

（理）設f（x）是定義在D上的函數，若對任何實數α∈（0，1）以及x₁、x₂∈D恒有f（αx₁+（1-α）x₂）≤αf（x₁）+（1-α）f（x₂）成立，則稱f（x）為定義在D上的下凸函數．
（1）試判斷函數g（x）=2x（x∈R），k(x)=

1

x

 (x＜0)是否為各自定義域上的下凸函數，并說明理由；
（2）若h（x）=px²（x∈R）是下凸函數，求實數p的取值范圍；
（3）已知f（x）是R上的下凸函數，m是給定的正整數，設f（0）=0，f（m）=2m，記S_f=f（1）+f（2）+f（3）+…+f（m），對于滿足條件的任意函數f（x），試求S_f的最大值．

Answer 1

（1）g（x）=2x是下凸函數，證明如下：
對任意實數x₁，x₂及α∈（0，1），
有g（αx₁+（1-α）x₂）-αg（x₁）-（1-α）g（x₂）=2（αx₁+（1-α）x₂）-2αx₁-2（1-α）x₂=0．
即g（αx₁+（1-α）x₂）≤αg（x₁）+（1-α）g（x₂）．
∴g（x）=2x是C函數．
k(x)=

1

x

(x＜0)不是下凸函數，證明如下：
取x₁=-3，x₂=-1，α=

1

2

，
則k（αx₁+（1-α）x₂）-αk（x₁）-（1-α）k（x₂）=k(-2)-

1

2

k(-3)-

1

2

k(-1)=-

1

2

+

1

6

+

1

2

＞0．
即k（αx₁+（1-α）x₂）＞αk（x₁）+（1-α）k（x₂）．
∴k(x)=

1

x

(x＜0)不是下凸函數．
（2）h（x）=px²是下凸函數，則對任意實數x₁，x₂及α∈（0，1），
有h（αx₁+（1-α）x₂）-αh（x₁）-（1-α）h（x₂）=p（αx₁+（1-α）x₂）²-pαx₁²-p（1-α）x₂²=p[-α（1-α）x₁²-α（1-α）x₂²+2α（1-α）x₁x₂]=-pα（1-α）（x₁-x₂）²≤0．
即當p≥0時，h（αx₁+（1-α）x₂）≤αh（x₁）+（1-α）h（x₂）．
∴當p≥0時，h（x）=px²是下凸函數．
（3）對任意0≤n≤m，取x₁=m，x₂=0，α=

n

m

∈[0，1]．
∵f（x）是R上的下凸函數，a_n=f（n），且a₀=0，a_m=2m
∴a_n=f（n）=f（αx₁+（1-α）x₂）≤αf（x₁）+（1-α）f（x₂）=

n

m

×2m=2n．
那么S_f=a₁+a₂+…+a_m≤2×（1+2+…+m）=m²+m．
可證f（x）=2x是C函數，且使得a_n=2n（n=0，1，2，…，m）都成立，此時S_f=m²+m．
綜上所述，S_f的最大值為m²+m．