Question

（2011•江蘇二模）選答題：本大題共四小題，請從這4題中選作2小題，如果多做，則按所做的前兩題記分．每小題10分，共20分，解答時應寫出文字說明，證明過程或演算步驟．
A、選修4-1：
幾何證明選講．如圖，圓O的直徑AB=4，C為圓周上一點，BC=2，過C作圓O的切線l，過A作l的垂線AD，AD分別與直線l、圓O交于點D，E，求∠DAC的度數與線段AE的長．
B、選修4-2：矩陣變換
求圓C：x²+y²=4在矩陣A=[

2 0 0 1

]的變換作用下的曲線方程．
C、選修4-4：坐標系與參數方程
若兩條曲線的極坐標方程分別為ρ=1與ρ=2sinθ，它們相交于A、B兩點，求線段AB的長．
D、選修4-5：不等式選講
已知a、b、c為正數，且滿足acos²θ+bsin²θ＜c．求證：

a

cos²θ+

b

sin²θ＜

c

．

Answer 1

分析：A：先利用弦切角定理求得∠DCA=60°，從而解直角三角形得∠DAC的度數，最后證明△AOE為等邊三角形從而求得線段AE的長；B：設P（x，y）是圓C：x²+y²=4上的任意一點，P′（x′，y′）是P（x，y）在矩陣A=[

2 0 0 1

]的對應變換作用下新曲線上的對應點，則由矩陣的運算性質得點P和點P′坐標間的關系，代入P點軌跡即可得所求曲線方程；C：先將已知曲線方程聯立，得交點的極坐標，在利用極坐標的定義，在三角形中通過解三角形求得AB的長；D：由柯西不等式定理直接證明即可

解答：解；A：如圖，在Rt△ABC中，AB=2BC，∴∠ABC=60°，
由于l為過C的切線，∠DCA=∠CBA，∴∠DCA=60°，
又∵AD⊥DC，得∠DAC=30°．
那么在△AOE中，∠EAO=∠DAC+∠CAB=60°，OE=OA，
∴AE=AO=

1

2

AB=2
B：設P（x，y）是圓C：x²+y²=4上的任意一點，
設P′（x′，y′）是P（x，y）在矩陣A=[

2 0 0 1

]的對應變換作用下新曲線上的對應點，
則[

x′   y′

]=[

2 0 0 1

][

x   y

]=[

2x   y

]，
即

x′=2x y′=y

，代入x²+y²=4得

x′2

4

+y′2=4
∴曲線方程為

x2

16

+

y2

4

=1
C：解：由ρ=1與ρ=2sinθ，得2sinθ=1
θ=

π

6

或θ=

5π

6

∴A、B的極坐標為A（1，

π

6

），（1，

5π

6

）
在△AOB中，OA=OB=1，∠AOB=

2π

3

∴AB=

3

D：證明：由柯西不等式可得

a

cos²θ+

b

sin²θ≤[（

a

cosθ）²+（

b

sinθ）²]^0.5（cos²θ+sin²θ）^0.5
=

acos 2θ+bsin 2θ

＜

c

點評：本題綜合考查了平面幾何證明，直線與圓的性質定理，矩陣變換和矩陣運算，極坐標系及其與直角坐標系的互化，利用柯西不等式證明不等式的方法