Question

已知函數f（x）=ax+b，當x∈[a₁，b₁]時值域為[a₂，b₂]，當x∈[a₂，b₂]時值域為[a₃，b₃]，當x∈[a_n-1，b_n-1]時值域為[a_n，b_n]…其中a、b為常數，a₁=0，b₁=1
（1）若a=1，b=2，求數列{a_n}和{b_n}的通項公式．
（2）若a＞0，a≠1，要使數列{b_n}是公比不為1的等比數列，求b的值．
（3）若a＞0，設數列{a_n}和{b_n}的前n項和分別為S_n和T_n，求T_n-S_n的值．

Answer 1

分析：（1）由a=1，b=2，可得f（x）=x+2．函數f（x）單調遞增，且當x∈[a_n-1，b_n-1]時值域為[a_n，b_n]．
可得當n≥2時，a_n=f（a_n-1）=a_n-1+2，b_n=f（b_n-1）=b_n-1+2，由a₁及b₁，利用等差數列的通項公式即可得出．
（2）當a＞0時，函數f（x）=ax+b單調遞增，可得當n≥2時，b_n=f（b_n-1）=ab_n-1+b，（*）
因為當b_n=b_n-1時，b_n=1，b=1-a，故b≠1-a（a＞0，a≠1），再利用數列{b_n}的公比為q，b₁=1，對于（*）分別取n=2，3可得

q=a+b q2=aq+b

即可解得b的值．
（3）當a＞0時，函數f（x）=ax+b單調遞增，可得當n≥2時，a_n=f（a_n-1）=aa_n-1+b，b_n=f（b_n-1）=ab_n-1+b，
①當a=1時，a_n=0+（n-1）•b，b_n=1+（n-1）b，由b_n-a_n=1即可得出T_n-S_n．
②當a≠1時，由an+

b

a-1

=a(an-1+

b

a-1

)，bn+

b

a-1

=a(bn-1+

b

a-1

)，
可得an+

b

a-1

=

b

a-1

•an-1，bn+

b

a-1

=(1+

b

a-1

)•an-1，可得bn-an=an-1，于是T_n-S_n=1+a+a²+…+a^n-1．

解答：解：（1）∵a=1，b=2，∴f（x）=x+2，
∵函數f（x）單調遞增，且當x∈[a_n-1，b_n-1]時值域為[a_n，b_n]．
∴當n≥2時，a_n=f（a_n-1）=a_n-1+2，b_n=f（b_n-1）=b_n-1+2，
又a₁=0，b₁=1，
∴a_n=0+（n-1）×2=2n-2，b_n=1+（n-1）×2=2n-1．
即a_n=2n-2，b_n=2n-1．
（2）當a＞0時，函數f（x）=ax+b單調遞增，∴當n≥2時，b_n=f（b_n-1）=ab_n-1+b，（*）
當b_n=b_n-1時，b_n=1，b=1-a，
因此b≠1-a（a＞0，a≠1）．
設數列{b_n}的公比為q，又b₁=1，對于（*）分別取n=2，3可得

q=a+b q2=aq+b

化為b（a+b-1）=0，而a+b-1≠0，∴b=0．
故當b=0時數列{b_n}是公比不為1的等比數列．
因此b=0．
（3）當a＞0時，函數f（x）=ax+b單調遞增，
∴當n≥2時，a_n=f（a_n-1）=aa_n-1+b，b_n=f（b_n-1）=ab_n-1+b，
①當a=1時，a_n=0+（n-1）•b，b_n=1+（n-1）b，
∴T_n-S_n=1+1+…+1=n．
②當a≠1時，由an+

b

a-1

=a(an-1+

b

a-1

)，bn+

b

a-1

=a(bn-1+

b

a-1

)，
可得an+

b

a-1

=

b

a-1

•an-1，bn+

b

a-1

=(1+

b

a-1

)•an-1，
∴可得bn-an=an-1，
∴T_n-S_n=1+a+a²+…+a^n-1=

an-1

a-1

．
綜上可知：當a=1時，T_n-S_n=n；
當a≠1時，T_n-S_n=

an-1

a-1

．

點評：熟練掌握一次函數的單調性、等差數列與等比數列的通項公式及其前n項和公式、分類討論的思想方法是解題的關鍵．