Question

本題滿分14分）
在數列中，，且.
(Ⅰ) 求，猜想的表達式，并加以證明；
(Ⅱ) 設，求證：對任意的自然數，都有；

Answer 1

解：（1）容易求得：，；
猜想， 證明：見解析.
（2）見解析.

本試題主要是考查了數列的歸納猜想的思想的運用，以及運用哦遞推關系式來求解數列的前幾項，并且能運用數學歸納法加以證明，同時對于構造的新數列也能利用裂項法求和的綜合運用。
（1）利用遞推關系，對于n賦值分別得到前幾項，并猜想其通項公式，運用數學歸納法加以證明
（2）根據上一問的結論，表示新數列的通項公式，然后利用裂項的思想求和并證明不等式問題。
解：（1）容易求得：，----------------------（2分）
故可以猜想， 下面利用數學歸納法加以證明：
（i）          顯然當時，結論成立，-----------------（3分）
（ii）        假設當；時（也可以），結論也成立，即
，--------------------------（4分）
那么當時，由題設與歸納假設可知：
------------（6分）
即當時，結論也成立，綜上，對,成立。--------（7分）
（2）---（9分）
所以
---------（11分）
所以只需要證明
（顯然成立）
所以對任意的自然數，都有-------（14分）