Question

已知方程x²+y²-2x-4y+m=0．
（1）若此方程表示圓，求m的取值范圍；
（2）若（1）中的圓與直線x+2y-4=0相交于M、N兩點，且OM⊥ON（O為坐標原點），求m的值．

Answer 1

分析：（1）由方程x²+y²-2x-4y+m=0配方為（x-1）²+（y-2）²=5-m．由于此方程表示圓，可得5-m＞0，解出即可；
（2）設M（x₁，y₁），N（x₂，y₂）．與圓的方程聯立可得△＞0及根與系數關系，再利用

OM

⊥

ON

，?

OM

•

ON

=x1x2+y1y2=0，即可解出m．

解答：解：（1）由方程x²+y²-2x-4y+m=0變形為（x-1）²+（y-2）²=5-m．∵此方程表示圓，∴5-m＞0，解得m＜5，故m的取值范圍是（-∞，5）；
（2）設M（x₁，y₁），N（x₂，y₂）．
聯立

x2+y2-2x-4y+m=0 x+2y-4=0

化為5y²-16y+8+m=0，
∵直線與圓相交，∴△=16²-20（8+m）＞0，化為m＜

24

5

．
∴y₁+y₂=

16

5

，y1y2=

8+m

5

．
∵

OM

⊥

ON

，∴

OM

•

ON

=x1x2+y1y2=0，
又x₁x₂=（4-2y₁）（4-2y₂）=16-8（y₁+y₂）+4y₁y₂，
∴5y₁y₂-8（y₁+y₂）+16=0，
∴8+m-

8×16

5

+16=0，
解得m=

8

5

，滿足m＜

24

5

，
故m=

8

5

．

點評：本題考查了直線與圓相交問題轉化為方程聯立得到△＞0及根與系數關系、向量垂直與數量積的關系等基礎知識與基本技能方法，屬于難題．