Question

曲線C上任意一點到E（-4，0），F（4，0）的距離的和為12，C與x軸的負半軸、正半軸依次交于A、B兩點，點P在C上，且位于x軸上方，
（1）求曲線C的方程；
（2）求點P的坐標；
（3）求曲線C的中心為圓心，AB為直徑作圓O，過點P的直線l截圓O的弦MN長為，求直線l的方程．

Answer 1

【答案】分析：（1）設G是曲線C上任意一點，依題意，|GE|+|GF|=12．a=6，c=4，，由此可知所求的橢圓方程．
（2）由已知A（-6，0），F（4，0），設點P的坐標為（x，y），則由已知得則，由此可推導出點P的坐標為；
（3）圓O的圓心為（0，0），半徑為6，其方程為x²+y²=36，直線l的方程為，圓心到l的距離，所以，由此可推導出所求的直線l的方程．
解答：解：（1）設G是曲線C上任意一點，依題意，|GE|+|GF|=12．
所以曲線C是以E、F為焦點的橢圓，且橢圓的長半袖a=6，半焦距c=4，
所以短半軸，
所以所求的橢圓方程為；
（2）由已知A（-6，0），F（4，0），設點P的坐標為（x，y）
則
由已知得
則，
由于y＞0，所以只能取，
所以點P的坐標為；
（3）圓O的圓心為（0，0），半徑為6，其方程為x²+y²=36，
若過P的直線l與x軸垂直，則直線l的方程為，
這時，圓心到l的距離，
所以，
符合題意；
若過P的直線l不與x軸垂直，設其斜率為k，
則直線l的方程為，
即
這時，圓心到l的距離d=，
所以，
化簡得，
所以直線l的方程為，
綜上，所求的直線l的方程為
點評：本題考查直線和圓錐曲線的位置關系，解題時要認真審題，仔細解答．