Question

（本小題滿分14分）

已知函數.

(1)當時，討論的單調性；

（2）設當時，若對任意，存在，使恒成立，求實數取值范圍.

 

Answer 1

【答案】

 

（1）

當時，函數f(x)在（0,1）上單調遞減；

           函數f(x)在（1,）上單調遞增；

當時，函數f(x)在（0,1）上單調遞減；

           函數f(x)在（1,）上單調遞減；

當時，函數f(x)在（0,1）上單調遞增；

           函數f(x)在（1,）上單調遞減；

（2）

【解析】解：（Ⅰ）因為，

所以 ， 

令 ，

（1）當a=0時h(x)=-x+1,

所以 當時，h(x)＞0，此時，函數f(x)單調遞減；

     當時，h(x)＞0，此時，函數f(x)單調遞增

（2）當時，，

即，解得，

當時，恒成立，

此時，函數 在上單調遞減；

    ②當，

       時，，此時，函數單調遞減；

       時，此時，函數 單調遞增；

       時，，此時，函數單調遞減；

      ③當時，由于，

        ，,此時，函數 單調遞減；

        時，，此時，函數單調遞增.

綜上所述：

當時，函數f(x)在（0,1）上單調遞減；

           函數f(x)在（1,）上單調遞增；

當時，函數f(x)在（0,1）上單調遞減；

           函數f(x)在（1,）上單調遞減；

當時，函數f(x)在（0,1）上單調遞增；

           函數f(x)在（1,）上單調遞減；

（Ⅱ）因為a=，由（Ⅰ）知，=1，=3，當時，，函數單調遞減；

當時，，函數單調遞增，

所以在（0，2）上的最小值為。

由于“對任意，存在，使”等價于

“在上的最小值不大于在（0,2）上的最小值”（*）

又=，，所以

①當時，因為，此時與（*）矛盾

②當時，因為，同樣與（*）矛盾

③當時，因為，解不等式8-4b，可得

綜上，b的取值范圍是