Question

已知函數，其中是自然對數的底數.

（1）求函數的零點；

（2）若對任意均有兩個極值點，一個在區間內，另一個在區間外，

求的取值范圍；

（3）已知且函數在上是單調函數，探究函數的單調性.

 

Answer 1

【答案】

（1）① 當時，函數有1個零點： ② 當時，函數有2個零點： ③ 當時，函數有兩個零點： ④ 當時，函數有三個零點：（2）（3）探究詳見解析.

【解析】

試題分析：（1）令n=1，n=2，求出g（x）的表達式，在分類求出g（x）=0的解即可.

（2）對函數求導，，對其分母構造函數，則=0由有一根在內，另一個在區間外，可得,即,解出a即可.

（3）由（2）可知存在 ，結合已知條件，可得函數在上是單調減函數, 所 的分子的值小于等于0，其相應的判別式小于等于0，在結合已知可證得 即可.

試題解析：（1），

① 當時，函數有1個零點： 1分

② 當時，函數有2個零點： 2分

③ 當時，函數有兩個零點： 3分

④ 當時，函數有三個零點：

4分

（2） 5分

設，的圖像是開口向下的拋物線.

由題意對任意有兩個不等實數根，

且

則對任意,即, 7分

又任意關于遞增,,

故

所以的取值范圍是 9分

（3）由(2)知, 存在，又函數在上是單調函數，故函數在上是單調減函數, 10分

從而即 11分

所以

由知 13分

即對任意

故函數在上是減函數. 14分

考點：1.函數的零點；2.函數的導數；3.單數性質的應用.