Question

已知正項等比數列{a_n}，a₁=2，又b_n=log₂a_n，且數列{b_n}的前n項和為T_n，當且僅當n=7時T_n最大，則數列{a_n}的公比q的取值范圍是

 

．

Answer 1

分析：由b_n+1-b_n=log₂a_n+1-log₂a_n═log₂q，得出數列{b_n}是等差數列，由已知僅當n=7時T_n最大，通過解不等式b₇＞0，b₈＜0，求出公比q的取值范圍即可．

解答：解：設等比數列{a_n}的公比為q，
則b_n+1-b_n=log₂a_n+1-log₂a_n═log₂q
∴數列{b_n}是以log₂q為公差，以log₂a₁=1＞0為首項的等差數列，
其通項公式為b_n=1+（n-1）log₂q．
由于當且僅當n=7時T_n最大，
∴log₂q＜0，且b₇＞0，b₈＜0，
即

1+6log2q＞0 1+7log2q＜0

，
∴

log2q＞- 1 6 log2q＜- 1 7

，即-

1

6

＜log2q＜-

1

7

解得2-

1

6

＜q＜2-

1

7

，
故答案為：（2-

1

6

，2-

1

7

）

點評：本題考查了等差數列的判定，前n項和最值情況．由條件得到b₇＞0，b₈＜0是解決本題的關鍵．