Question

【題目】已知函數(shù)，

（1）求函數(shù)的圖象在點(diǎn)處的切線方程；

（2）當(dāng)時(shí)，求證：；

（3）若對(duì)任意的恒成立，求實(shí)數(shù)的取值范圍.

Answer 1

【答案】（1）y=x（2）見解析（3）(-∞,e-2)

【解析】試題分析：

(1)首先求得切線的斜率為1，然后利用點(diǎn)斜式方程可得函數(shù)的圖象在點(diǎn)處的切線方程是y=x；

(2)構(gòu)造新函數(shù)g(x)= f(x)+x2-x= ex-x-1，由g(x)min= g(0)=0即可證得題中的結(jié)論；

(3)分離系數(shù)，構(gòu)造新函數(shù)，結(jié)合恒成立的條件可得實(shí)數(shù)的取值范圍是(-∞,e-2)

試題解析：

(1) ,所以，切點(diǎn)為(0,0) ∴切線為y=x

(2)證明：令g(x)= f(x)+x2-x= ex-x-1 ,g(x)= ex-1=0 ∴x=0

所以x (-∞，0)時(shí)，g(x)<0, g(x)單調(diào)遞減.x(0，+∞)時(shí)，g(x)>0, g(x)單調(diào)遞增

∴g(x)min= g(0)=0 ∴g(x) 0 ∴f(x) -x2+x

(3) f(x) kx對(duì)任意的x (0,+ ∞)恒成立等價(jià)于k<對(duì)任意的x(0,+ ∞)恒成立

令h(x)=, ∴h(x)=由(2)知x(0,+ ∞)時(shí)ex-x-1>0

∴x(0,1)時(shí)&#xF06A;&#xF0A2;h(x)<0, (xspan>)單調(diào)遞減，x(1,+ ∞)時(shí)&#xF06A;&#xF0A2;h(x)>0, h(x)單調(diào)遞增

∴h(x)min=h(1)=e-2 ∴k<e-2 ∴k的取值范圍(-∞,e-2)