【題目】如圖，游客從某旅游景區的景點A處下山至C處有兩種路徑．一種是從A沿直線步行到C，另一種是先從A沿索道乘纜車到B，然后從B沿直線步行到C．現有甲、乙兩位游客從A處下山，甲沿AC勻速步行，速度為50m/min．在甲出發2min后，乙從A乘纜車到B，在B處停留1min后，再從B勻速步行到C．假設纜車勻速直線運動的速度為130m/min，山路AC長為1260m，經測量，
，
．
（Ⅰ）問乙出發多少分鐘后，乙在纜車上與甲的距離最短?
（Ⅱ）為使兩位游客在
處互相等待的時間不超過
分鐘，乙步行的速度應控制在什么范圍內?
【答案】（Ⅰ）
（Ⅱ）
【解析】
試題分析：（Ⅰ）設乙出發t分鐘后，甲、乙兩游客距離為d，此時，甲行走了（100+50t）m，乙距離A處130t m，由余弦定理可得；（Ⅱ）設乙步行的速度為 v m/min，從而求出v的取值范圍
試題解析：（Ⅰ）∵
，
∴
∴
，
∴
根據
得
，所以乙在纜車上的時間為
（min）．
設乙出發
（
）分鐘后，甲、乙距離為
，則
∴
時，即乙出發分鐘后，乙在纜車上與甲的距離最短．
（Ⅱ）由正弦定理
得
（m）．
乙從
出發時，甲已經走了50（2+8+1）=550（m），還需走710m才能到達
．
設乙步行速度為
，則
．解得
．
∴為使兩位游客在
處互相等待的時間不超過
分鐘，乙步行的速度應控制在范圍內．
科目：高中數學 來源： 題型：
【題目】在12件同類型的零件中有2件次品，抽取3次進行檢驗，每次抽取1件，并且取出后不再放回，若以ξ和η分別表示取到的次品數和正品數．
（1）求ξ的分布列、均值和方差；
（2）求η的分布列、均值和方差．
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科目：高中數學 來源： 題型：
【題目】已知過點
且斜率為
的直線
與圓
：
交于點
兩點．
（1）求
的取值范圍；
（2）請問是否存在實數k使得
（其中
為坐標原點），如果存在請求出k的值，并求
；如果不存在，請說明理由。
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科目：高中數學 來源： 題型：
【題目】如圖，在梯形
中， 
， 
， 
，四邊形
為矩形，平面
平面
， 
．
（1）求證： 
平面
；
（2）點
在線段
上運動，設平面
與平面
所成二面角的平面角為
，試求
的取值范圍．
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科目：高中數學 來源： 題型：
【題目】如圖，有一直徑為8米的半圓形空地，現計劃種植甲、乙兩種水果，已知單位面積種植甲水果的經濟價值是種植乙水果經濟價值的5倍，但種植甲水果需要有輔助光照．半圓周上的
處恰有一可旋轉光源滿足甲水果生長的需要，該光源照射范圍是
,點
在直徑
上，且
．
（1）若
米，求
的長；
（2）設
, 求該空地產生最大經濟價值時種植甲種水果的面積．
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科目：高中數學 來源： 題型：
【題目】已知橢圓
的中心為坐標原點，其離心率為
，橢圓的一個焦點和拋物線
的焦點重合．
（1）求橢圓的方程
（2）過點
的動直線
交橢圓于
、
兩點，試問：在平面上是否存在一個定點
，使得無論如何轉動，以
為直徑的圓恒過點
，若存在，說出點的坐標，若不存在，說明理由．
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科目：高中數學 來源： 題型：
【題目】某企業生產甲，乙兩種產品均需用
兩種原料，已知生產1噸每種產品需用原料及每天原料的可用限額如下表所示，如果生產1噸甲，乙產品可獲利潤分別為3萬元、4萬元，則該企業可獲得最大利潤為__________萬元.
甲 | 乙 | 原料限額 | |
A(噸) | 3 | 2 | 12 |
B(噸) | 1 | 2 | 8 |
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