Question

已知函數f(x)=

a•2x+a-1

2x+1

．
（1）確定a的值，使f（x）為奇函數；
（2）當f（x）為奇函數時，求f（x）的值域．

Answer 1

分析：（1）根據奇函數定義，在定義域內f（-x）=-f（x）恒成立可求a值；
（2）利用2^x＞0及函數單調性可求f（x）的值域．

解答：解：（1）若f（x）為奇函數，則f（-x）=-f（x），
即

a•2-x+a-1

2-x+1

=-（

a•2x+a-1

2x+1

），
解得：a=

1

2

．
故當a=

1

2

時，f（x）為奇函數．
（2）由（1）知，若f（x）為奇函數，a=

1

2

，
∴f（x）=

1

2

-

1

2x+1

，
因為2^x＞0，所以0＜

1

2x+1

＜1，-1＜-

1

2x+1

＜0，
所以-

1

2

＜f（x）＜

1

2

．
故f（x）的值域為（-

1

2

，

1

2

）．

點評：本小題主要考查函數奇偶性的應用、不等式的解法等基礎知識，考查運算求解能力與化歸與轉化思想．屬于基礎題．