Question

【題目】已知函數(shù)f（x）=xm﹣ ，且f（3）= ．
（1）求函數(shù)f（x）的解析式，并判斷函數(shù)f（x）的奇偶性．
（2）證明函數(shù)f（x）在（0，+∞）上的單調(diào)性．

Answer 1

【答案】
（1）解：由f（3）= ，可知m=1，

所以函數(shù)的解析式為f（x）=x﹣

又因為函數(shù)的定義域為（﹣∞，0）∪（0，+∞），關(guān)于原點對稱，

且f（﹣x）=（﹣x）﹣（﹣ ）=﹣（x﹣ ）=﹣f（x），由函數(shù)奇偶性定義可知，

函數(shù)f（x）=x﹣ 為奇函數(shù)

（2）證明：設(shè)x1，x2是區(qū)間（0，+∞）上任意兩個實數(shù)，且x1＜x2，

f（x1）﹣f（x2）=（x1﹣ ）﹣（x2﹣ ）=（x1﹣x2）（1+ ），

因為0＜x1＜x2，所以x1﹣x2＜0，1+ ＞0，

所以f（x1）＜f（x2）．

所以函數(shù)f（x）=x﹣ 在區(qū)間（0，+∞）是單調(diào)遞增函數(shù)

【解析】（1）代入法求出m的值，求出f（x）的解析式，根據(jù)函數(shù)奇偶性的定義判斷即可；（2）根據(jù)函數(shù)單調(diào)性的定義證明即可．
【考點精析】通過靈活運用函數(shù)單調(diào)性的判斷方法和函數(shù)的奇偶性，掌握單調(diào)性的判定法：①設(shè)x1,x2是所研究區(qū)間內(nèi)任兩個自變量，且x1＜x2；②判定f(x1)與f(x2)的大小；③作差比較或作商比較；偶函數(shù)的圖象關(guān)于y軸對稱；奇函數(shù)的圖象關(guān)于原點對稱即可以解答此題．