Question

設兩個非零向量e₁和e₂不共線.
（1）如果=e₁-e₂，=3e₁+2e₂，=-8e₁-2e₂，
求證：A、C、D三點共線；
（2）如果=e₁+e₂，=2e₁-3e₂，=2e₁-ke₂，且A、C、D三點共線，求k的值.

Answer 1

（1）證明見解析（2）k=

（1）證明 =e₁-e₂，=3e₁+2e₂, =-8e₁-2e₂,
=+=4e₁+e₂
=-(-8e₁-2e₂)=-,
∴與共線，
又∵與有公共點C，
∴A、C、D三點共線.
（2）解 =+=（e₁+e₂）+（2e₁-3e₂）=3e₁-2e₂，
∵A、C、D三點共線，
∴與共線，從而存在實數使得=,
即3e₁-2e₂=(2e₁-ke₂)，由平面向量的基本定理，
得，解之得=，k=.