Question

設S_n表示一個公比q≠-1（q∈R）的等比數列的前n項和，CardA表示集合A中的元素個數，設M={x|x=

lim

n→∞

Sn

S2n

}，則CardM=

3

．

Answer 1

分析：由于涉及等比數列{a_n}的前n項和，故求和時，需要進行分類討論，同時注意極限的求解方法

解答：解：當q=1時，S_n=n，S_2n=2n，∴

lim

n→∞

Sn

S2n

=

1

2

，
當q≠1時，S_n=

a1(1-qn)

1-q

，S_2n=

a1(1-q2n)

1-q

，
∴

lim

n→∞

Sn

S2n

=

lim

n→∞

1-qn

1-q2n

，
當q＞1時，

lim

n→∞

1-qn

1-q2n

=

lim

n→∞

1 q2n - 1 qn

1 q2n -1

=0
當0＜q＜1時，∴

lim

n→∞

1-qn

1-q2n

=

1-0

1-0

=1
M={0，

1

2

，1}．
∴CardM=3．
故答案為：3．

點評：本題的考點是數列的極限，主要考查等比數列的極限問題，運用等比數列的前n項和公式，需要進行分類討論．