Question

已知常數(shù)a>0，向量c=（0，a），i=（1，0），經(jīng)過原點(diǎn)O以c+λi為方向向量的直線與經(jīng)過定點(diǎn)A（0，a）以i－2λc為方向向量的直線相交于點(diǎn)P，其中λ∈R.試問：是否存在兩個(gè)定點(diǎn)E、F，使得|PE|+|PF|為定值.若存在，求出E、F的坐標(biāo)；若不存在，說明理由.

Answer 1

存在，和，

【錯(cuò)解分析】此題綜合程度較高，易錯(cuò)點(diǎn)一方面表現(xiàn)在學(xué)生對題意的理解如對方向向量的概念的理解有誤，另一面是在向量的問題情景下不能很好的結(jié)合圓錐曲線的定義來解答，使思維陷入僵局而出錯(cuò)。
【正解】根據(jù)題設(shè)條件，首先求出點(diǎn)P坐標(biāo)滿足的方程，據(jù)此再判斷是否存在兩定點(diǎn)，使得點(diǎn)P到兩定點(diǎn)距離的和為定值.
∵i=（1，0），c=（0，a），
∴c+λi=（λ，a），i－2λc=（1，－2λa）
因此，直線OP和AP的方程分別為  和 .
消去參數(shù)λ，得點(diǎn)的坐標(biāo)滿足方程.
整理得 ……①
因?yàn)?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic2/upload/papers/20140824/20140824001729424418.png" style="vertical-align:middle;" />所以得：
（i）當(dāng)時(shí)，方程①是圓方程，故不存在合乎題意的定點(diǎn)E和F；
（ii）當(dāng)時(shí)，方程①表示橢圓，焦點(diǎn)和為合乎題意的兩個(gè)定點(diǎn)；
（iii）當(dāng)時(shí)，方程①也表示橢圓，焦點(diǎn)和為合乎題意的兩個(gè)定點(diǎn).
【點(diǎn)評】本小題主要考查平面向量的概念和計(jì)算,求軌跡的方法，橢圓的方程和性質(zhì)，利用方程判定曲線的性質(zhì)，曲線與方程的關(guān)系等解析幾何的基本思想和綜合解題能力。在高考中向量與圓錐曲線的結(jié)合是成為高考命題的主旋律，在解題過程中一方面要注意在給出的向量問題情景中轉(zhuǎn)化出來，另一方面也要注意應(yīng)用向量的坐標(biāo)運(yùn)算來解決解析幾何問題。如：線段的比值、長度、夾角特別是垂直、點(diǎn)共線等問題，提高自已應(yīng)用向量知識(shí)解決解析幾何問題的意識(shí)。