Question

【題目】設(shè)數(shù)列的前n項(xiàng)和為,已知,,.

(1)證明:為等比數(shù)列,求出的通項(xiàng)公式;

(2)若,求的前n項(xiàng)和,并判斷是否存在正整數(shù)n使得成立?若存在求出所有n值;若不存在說(shuō)明理由.

Answer 1

【答案】(1)證明見解析,;(2)不存在,理由見解析.

【解析】

(1)根據(jù)等比數(shù)列的定義即可證明為等比數(shù)列，再根據(jù)和的關(guān)系 ，即可求出的通項(xiàng)公式；

(2)根據(jù)，可采取錯(cuò)位相減法求出的前n項(xiàng)和，然后代入得，，構(gòu)造函數(shù)()，利用其單調(diào)性和零點(diǎn)存在性定理即可判斷是否存在．

(1)∵

∴，

因?yàn)?/span>，所以可推出．

故，即為等比數(shù)列．

∵，公比為2

∴，即，∵，當(dāng)時(shí)，，也滿足此式，

∴；

(2) 因?yàn)?/span>，

∴，兩式相減得:

即，代入，得．

令()，在成立，

∴，為增函數(shù)，

而，所以不存在正整數(shù)n使得成立．