Question

已知直線l：x-

3

y+4=0，一個圓的圓心E在x軸正半軸
上，且該圓與直線l和直線x=-2軸均相切．
（Ⅰ）求圓E的方程；
（Ⅱ）設P（1，1），過P作圓E的兩條互相垂直的弦AB、CD，求AC中點M的軌跡方程．

Answer 1

分析：（Ⅰ）直線l：x-

3

y+4=0，一個圓的圓心E在x軸正半軸，設出圓心c（a，0），a＞0，根據半徑r的幾何關系進行判斷，從而求出半徑r，從而圓E的方程；
（Ⅱ）設M（x，y），已知P（1，1），過P作圓E的兩條互相垂直的弦AB、CD，根據勾股定理進行求解，從而求AC中點M的軌跡方程．

解答：解：（1）設圓心c（a，0），a＞0，半徑為r，
∵該圓與直線l和直線x=-2軸均相切，
則

a+2=r a+4 2 =r

⇒

a=0 r=2

，所求圓的方程為．x2+y2=4；
(2)設M(x，y)，由

|OM|2+|MC|2=|OC|2 |MC|=|MP|

得|OM|2+|MP|2=|OC|2
即x²+y²+（x-1）²+（y-1）²=4，整理得x²+y²-x-y-1=0即為所求軌跡方程．

點評：此題主要考查橢圓的方程以及切線的方程，利用幾何關系找出半徑的關系，是一道中檔題；