Question

記函數f（x）的導數為f^（1）（x），f^（1）（x）的導數為f^（2）（x），…f^（n-1）（x）的導數為f^（n）（x）（n∈N^*）．若f（x）可進行n次求導，則f（x）均可近似表示為：f（x）≈f（0）+x+x²+x³+…+xⁿ，其中n！=n（n-1）（n-2）（n-3）…3×2×1，若取n=3，根據這個結論，則可近似估計自然對數的底數e≈    （用分數表示）．

Answer 1

【答案】分析：利用（e^x）^（n）=e^x及其所給的展開式即可得出．
解答：解：令f（x）=e^x，則f^′（x）=f^″（x）=f^（3）（x）=e^x，且f^′（0）=f^″（0）=f^（3）（0）=1．
∴e=f（1）≈
即=．
故答案為．
點評：熟練掌握（e^x）^（n）=e^x及正確理解所給的展開式是解題的關鍵．