Question

（2011•武漢模擬）設f（x）=sinπx是[0，1]上的函數，且定義f₁（x）=f（x），…，f_n（x）=f（f_n-1（x）），n∈N^*，則滿足f_n（x）=x，x∈[0，1]的x的個數是（　　）

A．2n

B．2（2n-1）

C．2n²

D．2ⁿ

Answer 1

分析：根據已知條件和遞推關系，先求出n=1滿足f_n（x）=x，x∈[0，1]的x的個數；n=2滿足f_n（x）=x，x∈[0，1]的x的個數；然后總結歸納其中的規律，

解答：解：顯然，y=f₁（x）與y=x的圖象有2=2¹個交點．
接下來考慮f₂（x），在x屬于[0，

1

2

]時，f₁（x）從0單調上升到1，于是f₂（x）從0上升到1再下降到0；
當x屬于[

1

2

，1]時，又是這樣一個周期．你近似畫出它的圖象（只要增減性畫對）就知道它會上升到1，下降到0，再上升到1，再下降到0，這樣和y=x有4=2²個交點．
接下來，你再看f₃（x），就會發現周期又縮短了一半．它有4次上升下降，與直線y=x有8=2³個交點．
歸納可以得出結論：f_n（x）=x，x∈[0，1]的x的個數是：2ⁿ．
故選D．

點評：歸納推理的一般步驟是：（1）通過觀察個別情況發現某些相同性質；（2）從已知的相同性質中推出一個明確表達的一般性命題（猜想），屬于中檔題