Question

如圖，在四棱錐E-ABCD中，AB⊥平面BCE，CD⊥平面BCE，AB=BC=CE=2CD=2，∠BCE=120°.

(Ⅰ)求證：平面ADE⊥平面ABE；

(Ⅱ)求點C到平面ADE的距離.

Answer 1

答案：解法1：取BE的中點O,連OC.

∵BC=CE,∴OC⊥BE.又AB⊥平面BCE.

以O為原點建立空間直角坐標系O-xyz如圖,

則由已知條件有

C(1,0,0),B(0,,0),E(0,,0)D(1,0,1),A(0,,2)設平面ADE的法向量為n=(a,b,c),

則由n·=(a,b,c)·(0,,2)=b+2c=0.

及n·=(a,b,c)·(-1,,1)=-a+b+c=0.

可取n=(0,1)

又AB⊥平面BCE.∴AB⊥OC.OC⊥平面ABE

∴平面ABE的法向量可取為m=(1,0,0).

∵n·m=(0,1)·(1,0,0)=0,

∴n⊥m  ∴平面ADE⊥平面ABE.

(Ⅱ)點C到平面ADE的距離為

解法2：取BE的中為O,AE的中心F,連OC、OF、DF,

則BA∵AB⊥平面BCE,CD⊥平面BCE,AB=2CD

∴CDBA,OFCD∴OC//FD

∵BC=CE,∴OC⊥BE.又AB⊥平面BCE.∴OC⊥平面ABE.∴FD⊥平面ABE.

從而平面ADE⊥平面ABE.

(Ⅱ)∵CDBA,延長AD,BC交于T則C為BT的中點.

點C到平面ADE的距離等于點B到平同ADE的距離.過B作BH⊥AE,垂足為H.

由已知有AB⊥BE.BE=2,AB=2,∴BH=,從而點C到平面ADE的距離為.

或OC//FD,點C到平面ADE的距離等于點O到平面ADE的距離為.或取AB的中點M.易證CM//DA,點C到平面ADE的距離等于點M到平面ADE的距離為.